モンティ・ホール問題の解説
こんにちは、とみちゃんです。
前回、「モンティ・ホール問題」で、最終的に扉の選択を変えたほうがいいという話をしました( ・∇・)
この問題で陥りがちな考えかたとして、
司会者がハズレの扉を開いたあと、最初にえらんだ扉にしようが残ったとびらに変えようが、当たる確率は変わらないのではないか
ということです。
これが落とし穴なのです。
では、まず
「扉を変えても変えなくても当たる確率は2分の1である」
がなぜ間違いであるかを説明します(￣▽￣)
司会者がハズレの扉を開いたあとで、ゲームの状況を全く知らない第三者（Aさん）が突然やってきて、
「さあ、今Aさんの目の前には3つの扉があります。この中に当たりの扉が1つありますが、いちばん右の扉はハズレであることがわかってます。当たりは残った2つのうちのどちらでしょう？」
と司会者にいわれたとします。
このとき、Aさんがえらんだ扉が当たる確率は確かに2分の1です。
しかし、この問題は↑のような状況ではないですよね？
最初にあなたが扉をえらんだとき、その扉が当たりである確率は3分の1ですよね。
最終的にこのまま選択を変えなければ、えらんだ扉が当たっている確率も変わらず3分の1ということになります。
決して2分の1にはなりません。
扉を変えても変えなくても当たる確率は3分の1なのでは？
と考えた方もいるかもしれませんが、それも違うのです。
先ほど同様、最初にえらんだ扉が当たっている確率は3分の1です。
では、えらばなかった2つの扉に当たりがある確率はどうですか？
えらんだ扉が当たりでない確率とおなじで3分の2になります。
ここが重要です。
司会者がハズレの扉を開こうが、あなたがえらばなかった扉の中に当たりがある確率は変わらず3分の2なのです。
ここで、あなたがえらばなかった2つの扉に当たりがある確率は3分の2なのですが、親切にも司会者が、右の扉がハズレ（＝当たりである確率が０）であることを教えてくれています。
ということは、残った真ん中の扉が当たりである確率が3分の2になるのです。
扉を変えなければ当たりの確率が3分の1だったのが、変えることで当たる確率が2倍になりました。
まだよくわからないという方のために、扉の数を10個にふやして考えてみます。
10個の中から1つ扉をえらんで、それが当たる確率は10分の1です。
では、どこに当たりがあるか知っている司会者が、あなたがえらんだ扉以外のハズレの扉8個を開けます。
このあと、今えらんでいる扉を残った扉に変えてもいいですよと司会者に言われたら、
それでもあなたは扉を変えませんか？
